Давайте-ка вы самостоятельно составите всю цепочку превращения энергии в цикле:
1. сжижение газа плотностью ρ1 на высоте h1 при атм. давлении P1 и температуре T.
2. снижение аппарата до высоты h0 < h1
3. испарение газа на высоте h0 при атм.давлении P0 > P1 и температуре T
4. дальнейшее уменьшение плотности газа до появления положительной плавучести, достаточной для достижения высоты h1 (т.е. до плотности равной или меньшей плотности атмосферы на высоте h1)

Не забудьте замкнуть цикл по всем параметрам: высоте, температуре, объёму, давлению и проч.

Ну и?

Пишем:
1 Затраты на сжижение - те же, что и на нагревание до температуры кипения A=Q=mсΔТ, с - удельная теплоемкость.
2 A=mgh
3 A=Q=mсΔТ (масса и теплоемкость газа у нас ведь не меняется, или я неправ?) Для простоты, предположим, что газ не обменивается теплом с атмосферой. Перепады атмосферного давления не играют никакой роли, если сжиженный газ - в баллоне. Давление несущего газа тоже может быть больше атмосферного - на дирижаблях это обычная картина.
4 ?

В упор не вижу, почему mgh не может быть больше, чем mсΔТ.